概要

不偏分散がなぜ標本分散をnではなくn-1で割るのかを理解するために考え方をメモしておきます。

単純に標本分散の期待値をとると母分散に一致しないので、一致させるためにn-1で割っているという理解をしています。

不偏分散の考え方

標本X1, ...,Xnがある時、標本平均と標本分散は以下の通り。

$\bar{X} = \frac{1}{n} \Sigma_{i}^{n} X_i \\ S^2 = \frac{1}{n} \Sigma_{i}^{n} (X_i - \bar{X})^2$

また

$E[X_i] = \mu \\ Var(X_i) = \sigma^2$

を用いると、

$E[\bar{X}] = \frac{1}{n}\Sigma_{i}^{n} E[X_i] = \frac{1}{n} n \mu = \mu \\ Var(\bar{X}) = Var(\frac{1}{n}\Sigma_{i}^{n} X_i) = \frac{1}{n^2}\Sigma_{i}^{n} Var(X_i) = \frac{1}{n^2}n \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}$

となる。

標本分散の期待値をとると、

$E[S^2] = \frac{1}{n} E[ \Sigma_{i}^{n} (X_i - \bar{X})^2 ] \\\ = \frac{1}{n} E[ \Sigma_{i}^{n} (X_i - \mu - (\bar{X} - \mu))^2 ] \\\ = \frac{1}{n} (\Sigma_{i}^{n}E[(X_i - \mu)^2 ] - nE[(\bar{X} - \mu)^2 ]) \\\ = \frac{1}{n} (n \sigma^2 - n(\frac{\sigma^2}{n}) ) \\\ = \frac{(n-1)\sigma^2}{n}$